# 一元二次方程20道例题解读
## 什么是一元二次方程
一元二次方程是指形如 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的方程，其中 \( a, b, c \) 为常数，且 \( a \neq 0 \)。一元二次方程的解法有多种，最常用的是求根公式法、分解因式法和图像法。
## 示例一：基础应用
**题目：** 解方程 \( 2x^2 + 3x - 2 = 0 \)。
**解析：** 使用求根公式：
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
代入得：
\[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}
\]
得到 \( x_1 = \frac{1}{2} \) 和 \( x_2 = -2 \).
## 示例二：分解因式法
**题目：** 解方程 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)。
**解析：** 可分解为：
\[
(x - 2)(x - 3) = 0
\]
因此 \( x_1 = 2 \)，\( x_2 = 3 \)。
## 示例三：求解复杂系数
**题目：** 解方程 \( 3x^2 + 12x + 9 = 0 \)。
**解析：** 首先可以约简：
\[
x^2 + 4x + 3 = 0
\]
分解为：
\[
(x + 1)(x + 3) = 0
\]
所以 \( x_1 = -1 \)，\( x_2 = -3 \)。
## 示例四：无实根方程
**题目：** 解方程 \( x^2 + 4x + 5 = 0 \)。
**解析：** 计算判别式：
\[
D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4
\]
由于判别式小于零，方程没有实数解。
## 示例五：应用题
**题目：** 一个矩形的面积是 60m2，长比宽多2m，求长和宽。
**解析：** 设宽为 \( x \)，则长为 \( x + 2 \)，可以建立方程：
\[
x(x + 2) = 60
\]
整理得：
\[
x^2 + 2x - 60 = 0
\]
使用求根公式解得：
\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 240}}{2} = \frac{-2 \pm 16}{2}
\]
因此 \( x_1 = 7 \)，对应的长为 9。
## 示例六：含参数的方程
**题目：** 解方程 \( kx^2 + 6x + 9 = 0 \)，其中 \( k \neq 0 \)。
**解析：** 使用求根公式，得：
\[
x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot k \cdot 9}}{2k} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 36k}}{2k}
\]
必须确保 \( 36 - 36k \geq 0 \) 来得到实根。
## 示例七：常见的特殊组合
**题目：** 解方程 \( 4x^2 - 12x + 9 = 0 \)。
**解析：** 此方程可呈平方形式：
\[
(2x - 3)^2 = 0
\]
得到 \( x = \frac{3}{2} \)，这是一个重根。
## 示例八：应用场景
**题目：** 一个梯形的面积为 40m2，上底比下底少 4m，求梯形的上下底。
**解析：** 设下底为 \( x \)，则上底为 \( x - 4 \)。根据面积公式：
\[
\frac{1}{2} \cdot (x + x - 4) \cdot h = 40
\]
如果设高 \( h \) 为定值，可以继续转换为一元二次方程求解。
## 示例九：多解问题
**题目：** 解方程 \( x^2 - 6x + 9 = 0 \)。
**解析：** 此方程可化为完全平方：
\[
(x - 3)^2 = 0
\]
所以得到唯一解 \( x = 3 \)。
## 示例十：涉及平方和的方程
**题目：** 解方程 \( x^2 + 10x + 25 = 0 \)。
**解析：** 这是一个完全平方，化为：
\[
(x + 5)^2 = 0
\]
解得 \( x = -5 \)。
## 示例十一：含小数的方程
**题目：** 解方程 \( 0.5x^2 + 1.5x - 1 = 0 \)。
**解析：** 先去掉小数，乘以 2：
\[
x^2 + 3x - 2 = 0
\]
再用求根公式解得：
\[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}
\]
## 示例十二：确定解的个数
**题目：** 解方程 \( 5x^2 - 20x + 15 = 0 \)。
**解析：** 先化简为：
\[
x^2 - 4x + 3 = 0
\]
分解得：
\[
(x - 1)(x - 3) = 0
\]
解得 \( x_1 = 1 \)，\( x_2 = 3 \)。
## 示例十三：相同根的方程
**题目：** 解方程 \( 2x^2 - 8x + 8 = 0 \)。
**解析：** 化简为：
\[
x^2 - 4x + 4 = 0
\]
可展开为：
\[
(x - 2)^2 = 0
\]
得到重根 \( x = 2 \)。
## 示例十四：实际问题建模
**题目：** 水池里有 200L水，放水流速为每小时10L，求水位下降所需时间。
**解析：** 设 \( t \) 为时间，则有方程：
\[
200 - 10t = 0
\]
解得 \( t = 20 \) 小时。
## 示例十五：复杂判断
**题目：** …
## 示例十六：理论推导
**题目：** …
## 示例十七：方程组
**题目：** …
## 示例十八：变换形式
**题目：** …
## 示例十九：制约条件
**题目：** …
## 示例二十：实例综合
**题目：** …
最新评论